Физико-математическая междисциплинарность в образовательном процессе

«Практика рождается из тесного соединения физики и математики.»

Френсис Бэкон

 Обоснована педагогическая идея необходимости более существенной и эффективной физико-математической междисциплинарности в образовательном процессе. Это становится возможным на основе профессионально-педагогического «вмешательства» в научное содержание учебного материала, которое призвано воздействовать на интеллектуальную и чувственно-эмоциональную сферу личности как познающего субъекта.

Научная междисциплинарность обусловлена различными объективными факторами, многообразными по своей природе. Междисциплинарные связи имеют вполне определенную методологическую основу, а реализуются очень часто и достаточно эффективно с помощь «царицы и служанки всех наук», т.е. математики. Французский математик Эмиль Борель считал, что наука становится наукой постольку, поскольку в нее проникает число. А Карл Фридрих Гаусс любил повторять: «Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики». Вероятно, дело в том, что в теории чисел наиболее ярко проявляется суть математики, ее дух. Сейчас наиболее крупные результаты теории чисел получены с помощью методов функций комплексного переменного.

Функция — это одно из основных математических и общенаучных (а потому междисциплинарных) понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. — имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. В различных науках возникают количественные взаимоотношения, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями. Понятие функции для математики и ее приложений в различных областях человеческой деятельности, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как и понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира. Роль математики в различных науках трудно переоценить. Ее роль огромна и в образовательном процессе. Именно педагогические аспекты физико-математической междисциплинарности мы и намерены рассмотреть в настоящей статье, причем рассмотреть под углом зрения интеллектуально-эстетического наслаждения от математического видения физической сущности законов и теорий.

В образовательном процессе (обучение, воспитание в процессе обучения и, как следствие, развитие личности) рациональное и эмоциональное призваны каталитически воздействовать друг на друга таким образом, чтобы научные знания усваивались на основе переживаний. Этому должен способствовать дидактический динамизм в сочетании с педагогическим романтизмом. Вся суть педагогического действия и воздействия состоит в том, чтобы объективировать субъективное и субъективировать объективное. Без этого эффективное, плодотворное обучение, воспитание и профессиональное самостановление вряд ли возможно. Диполь «объяснение-понимание» должен стать дистинкцией, обеспечивающий двуединый педагогический процесс и движение мысли в этом процессе. Понимать объяснение — значит ощущать его необходимость, усматривать место объяснения в определенной системе знаний, видеть сущность объясняемого в неразрывном единстве с конкретизацией этой ситуации, ибо общее существует лишь в отдельном.

Глубоко понимать содержание — значит пережить его эмоционально, проникнуться интеллектуальной удовлетворенностью, которая приносит радость! Глубокое понимание предполагает определенную интеллектуальную готовность на основе совершенно свободного владения ранее изученным (на основе необходимой системы опорных знаний). Великий Джеймс Максвелл утверждал, что нет лучшего метода сообщения уму знаний, чем метод преподнесения их в возможно более разнообразных формах и, добавим, под разными «углами зрения».

В физике и математике есть удивительные числа, которые в системе знаний присутствуют «на каждом шагу». Как же можно не восхищаться этими числами?!

Вот удивительное число «Пи — π»! Его математическая природа весьма интересна и «загадочна», а его физическая природа — тем более! Число, которое не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, есть число π. Оно — результат предельного перехода. Дробная часть π, как и всех иррациональных чисел, бесконечная и непериодическая. Это число не алгебраическое, а потому трансцендентное! Хотя это удивительное число было известно из «незапамятных времен», его трансцендентность была доказана молодым профессором Фрейбурзского университета Фердинандом фон Линдеманом только в 1882 году.

Иоганн Вольфганг фон Гете оставил нам замечательные слова: «Суха, мой друг, теория всегда, а древо жизни пышно зеленеет». Можно заключить, что теория чисел суха, а где же «дерево жизни»? Попробуем его разглядеть… π — отношение длины окружности к ее диаметру! Но ведь π «возникает» во многих ситуациях, которые к окружностям не имеют никакого отношения! Английский математик Август де Морган назвал π «загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, через окна и через крышу».

Чтобы подойти к пониманию трансцендентности числа π, необходимо иметь, как мы уже отмечали, интеллектуальную готовность на основе совершенно свободного владения необходимой системой опорных знаний. Необходимо «безоговорочно» владеть понятиями: целого положительного числа, дробного числа, отрицательного числа, что в совокупности составляет систему всех рациональных чисел. Чтобы получить систему действительных чисел, добавляем иррациональные числа. Таким образом «запас» чисел расширяется, причем каждое расширение дает дополнительную возможность находить корни таких уравнений, которые раньше корней не имели.

Так, уравнение  имеет корень только при наличии дробных чисел; уравнение  — при наличии отрицательных чисел; уравнение  — при введении понятия иррациональных чисел.

Запас чисел аналогично обогащается введение понятия и построением системы комплексных чисел , где   или .

Все это говорит о том, что понятие числа значительно сложней, чем кажется на первый взгляд.

Удивительное число π не одиноко в своей трансцендентности. Правда, тому, кто не занимается математикой или физикой, с этим числом приходится встречаться реже. Речь идет о числе «е», фундаментальный характер которого выразительно проявляется, когда речь идет о возрастании какой-либо величины.

Предположим, кто-то положил в банк одну гривну под 4% годовых. Если проценты простые, то через 25 лет вклад превратится в две гривны. Если же банк выплачивает сложные проценты («проценты на проценты»), то сумма вклада будет возрастать быстрее. Причем, чем чаще будет происходить начисление, тем быстрее растет вклад. Например, если ежегодно начислять «прибавку», то через 25 лет гривна превратится в 2,66 грн. Этот результат получается после вычисления выражения

Если же начисления выполнять каждые полгода, то тогда через 25 лет вклад составит

Может показаться, что если начисления делать, например, ежечасно, то вклад превратится в огромную сумму.

Однако это не так! Увеличение вклада происходит по закону

где n — количество перерасчетов. Оказывается, что при n→∞ выражение

Однако, далеко не все величины возрастают по этому математическому закону, а только те, которые обладают одной особенностью: в каждый момент времени скорость увеличения пропорциональна самой величине в этот же момент времени! Это означает, что отношение прироста величины к каждому ее значению всегда одно и то же. Эти величины описываются формулами, в которые входит функция у = е^х. Эта показательная функция настолько важная, что получила особое название — экспоненциальная или, просто, экспонента!

Как и число π, число е — трансцендентное число, т.е. оно не может быть корнем какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Как и число π, число е записывается лишь двумя способами: либо в виде бесконечной цепной дроби, либо как сумма бесконечного ряда!

Существует ли связь между этими удивительными трансцендентными числами? Да, существует! Очень красивую связь получил знаменитый Леонард Эйлер на основе своей знаменитой формулы е^ix=соs х + i sin x. Если x= π, то e^iπ=-1! Или e^iπ +1=0, или еще красивее e^iπ +e⁰=0! «Лаконичное, утонченное, наполненное глубоким смыслом», — так характеризовали это выражение Е. Каснер и Дж. Ньюмен в своей книге «Математика и воображение».

В математической литературе описывается подробно история все более точных вычислений этих «загадочных» чисел, а также доказательств их иррациональности и трансцендентности, например [1,61], [2]. Однако, вопросы, связанные с глубинными физическими смыслами, которые ставят эти числа в ряд с мировыми физическими константами, как правило, не рассматриваются. А ведь π и е входят во многие физические формулы, выражающие фундаментальные физические законы!

Мировые физические константы, связанные с глубинными свойствами пространства-времени, задают определенную структуру Вселенной и масштабы физических событий в ней.

Эти константы задают планковскую фундаментальную длину

которая, безусловно характеризует физические свойства пространства-времени, связанные с его дискретностью.

Есть основания предполагать, что и удивительные числа π и е связаны со свойствами пространства-времени, причем π – с его изотропностью, а следовательно, с законом сохранения импульса. При описании сферической симметрии пространства обязательно «возникает» число π, которое, безусловно, с этой симметрией и связано.

Показательная функция y=e^nx, производная которой отличается от самой функции только числовым множителем, называется собственной функцией данного оператора. Показательная функция комплексного переменного является решением дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения описывают процессы, для которых характерны линейные и линеаризованные функции. Общее решение этих уравнений не зависит от параллельного переноса систем координат, что отражает однородность пространства-времени. Следствием однородности пространства является закон сохранения импульса, а следствием однородности времени — закон сохранения энергии!

В своей статье [3, 243-247] мы акцентировали внимание на межпредметных дидактических инвариантах и констатировали, что поисковая учебно-познавательная деятельность студентов по физике возможна только тогда, когда в систему опорных знаний входят и необходимые математические знания. Проникновение в физическую сущность явлений в образовательном процессе зачастую становится невозможным без «математического видения» этой сущности.

Инновационные педагогические технологии предполагают необходимость более существенного «педагогического вмешательства» в научное содержание учебного материала.

Литература

1. Звонкин А.//Квант, №1, 1995. — М.: Бюро «Квантум».
2. Кымпан Ф. История числа л. — М.: Наука, 1971.
3. Проказа А.Т., Хмель В.П. Дидактико-методическая система классической педагогики и инновационные технологии наполнения ее компонентов.//Теорія та методика навчання фундаментальних дисциплін у вищій школі: Збірник наукових праць. — Кривий Ріг: Видавничій відділ НМетАУ, 2005.